已知函数f(x)=asin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$≤f恒成立．给出下列结论:①函数y=f(x)在[0.$\frac{2π}{3}$]上单调递增,②将函数y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位.所得图象对应的函数为偶函数,③若k≥2.则函数g(x)=kx-f有且只有一个零点．其中正确的结论是①③．(写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知函数f（x）=asin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$（a∈R），且f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）恒成立．给出下列结论：
①函数y=f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$]上单调递增；
②将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，所得图象对应的函数为偶函数；
③若k≥2，则函数g（x）=kx-f（2x-$\frac{π}{3}$）有且只有一个零点．
其中正确的结论是①③．（写出所有正确结论的序号）

分析 ①$f（\frac{2π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，由f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）恒成立，可得a＞0，$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，解得a，可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出单调性；
②将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=$2sin[\frac{1}{2}（x+\frac{π}{3}）+\frac{π}{6}]$=$2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$，即可判断出图象的奇偶性；
③利用奇函数的定义可得：函数f（x）是奇函数．f（0）=0．若k≥2，当x＞0时，函数g（x）=kx-f（2x-$\frac{π}{3}$）≥2x-2sinx=2（x-sinx）＞0，无零点；同理x＜0时，无零点，即可判断出．

解答解：①$f（\frac{2π}{3}）$=a$sin\frac{π}{3}$+$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，∵f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）恒成立，∴a＞0，$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}$=$2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$，由x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，可得$（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴函数y=f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$]上单调递增，①正确；
②将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=$2sin[\frac{1}{2}（x+\frac{π}{3}）+\frac{π}{6}]$=$2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$，所得图象对应的函数不是偶函数，②不正确；
③f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．f（0）=0．若k≥2，则当x＞0时，函数g（x）=kx-f（2x-$\frac{π}{3}$）=kx-2sinx≥2x-2sinx=2（x-sinx）＞0，无零点；同理x＜0时，无零点．综上可得：函数f（x）有且只有一个零点，故③③正确．
因此只有：①③正确．
故答案为：①③．

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