题目内容
8．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为$\frac{4}{9}$，乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{3}$（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是$\frac{16}{81}$，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．
分析 （I）利用相互独立事件概率计算公式可得：$\frac{4}{9}×\frac{t}{3}×\frac{t}{3}=\frac{16}{81}$，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为$\frac{2}{3}$．ξ可取0，1，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．
解答 解：（Ⅰ）依题意$\frac{4}{9}×\frac{t}{3}×\frac{t}{3}=\frac{16}{81}$，
∴t=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为$\frac{2}{3}$．
ξ可取0，1，2．
$P（ξ=2）=\frac{4}{9}•\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P（ξ=1）=\frac{4}{9}•\frac{1}{3}+\frac{5}{9}•\frac{2}{3}=\frac{14}{27}$，$P（ξ=0）=\frac{5}{9}•\frac{1}{3}=\frac{5}{27}$，
∴$Eξ=2×\frac{8}{27}+1×\frac{14}{27}+0×\frac{5}{27}=\frac{30}{27}=\frac{10}{9}$．
点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $（-∞，\frac{1}{2}]$ | B． | $（-∞，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ | C． | $（-∞，\sqrt{2}]$ | D． | （-∞，2] |
20．某校为了丰富学生的课余生活，决定在每周的星期二、星期四的课外活动期间同时开设先秦文化、趣味数学、国学和网络技术讲座，每位同学参加每个讲座的可能性相同．若参加讲座的人数达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座，统计数据表明，各讲座的概率如表：
根据上表：
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
| 星期 | 先秦文化 | 趣味数学 | 国学 | 网络技术 |
| 星期二 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{2}{3}$ |
| 星期四 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
（1）求趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座的概率；
（2）设星期四各讲座满座的科目为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．