Question

    （本小题12分）
如图3，已知在侧棱垂直于底面
的三棱柱中，AC="BC," AC⊥BC,点D是A₁B₁中点.
(1)求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;
(2)若AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值
为，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

Answer 1

（1）据题意A₁C₁=B₁C₁,
且D为A₁B₁中点
∴C₁D⊥A₁B₁, 又BB₁⊥面A₁B₁C₁, C₁D 面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥C₁D, ∴ C₁D⊥面A₁ABB₁,…………2分
又C₁D 面AC₁D
∴面AC₁D⊥平面A₁ABB₁………………………4分
（2）由（1）知C₁D⊥面A₁ABB₁,
∴∠C₁AD为AC₁与平面A₁ABB₁所成的角……6分
设AC=CB=1,AA₁=x,则AC₁=,C₁D=
sin∠C₁AD=, ∴x="2.  "  …………………8分
又因为AC、CB、CC₁两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：
取面A₁C₁A的法向量为，设面ADC₁的法向量为，又C₁(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),
∴,,="0," ∴x-2z=0
="0" ,∴x+y="0" , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴
 ………………………………11分
又D在面A₁AC₁上的射影为A₁C₁的中点，故二面角D- AC₁-A₁为锐角，
设为 ，所以  …………………………………………12分

略