题目内容
5.若实数x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$,求下列式子的取值范围.(1)$\frac{y+1}{x+1}$;
(2)(x-1)2+(y-1)2;
(3)x-2y;
(4)|2x+y+1|;
(5)$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$;
(6)$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$.
分析 由约束条件作出可行域.
(1)由$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义即两点连线的斜率求得答案;
(2)由(x-1)2+(y-1)2的几何意义即两点间的距离的平方求得答案;
(3)直接由线性目标函数求得x-2y的范围;
(4)由线性目标函数求得绝对值内部的范围,则|2x+y+1|的范围可求;
(5)对x分类,然后把$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$分子分母同时除以x,换元后利用函数单调性求得答案;
(6)把$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$分子分母同时除以x,换元,然后分类利用函数单调性和基本不等式求得答案.
解答 解:由约束条件作出可行域如图,
(1)$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-(-1)}{x-(-1)}$,由图可知,可行域内的点与P(-1,-1)连线斜率的最小值为${k}_{PA}=\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$,最大值为${k}_{PB}=\frac{-1-1}{-1-0}=2$.
∴$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{2},2$];
(2)(x-1)2+(y-1)2的几何意义为可行域内的动点到点M(1,1)的距离的平方,最小值为$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}$,最大值为$(\sqrt{2})^{2}=2$.
∴(x-1)2+(y-1)2的取值范围为[$\frac{1}{2},2$];
(3)令z=x-2y,化为直线方程斜截式$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$,由图可知,当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过点B(0,1)时,z有最小值为-2.
当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$过点A(1,0)时,z有最大值为1.
∴x-2y的范围为[-2,1];
(4)令t=2x+y+1,化为直线方程斜截式y=-2x+t-1,由图可知,当直线y=-2x+t-1过O(0,0)时,t有最小值为1.
当直线y=-2x+t-1过A(1,0)时,t有最大值为3.
∴|2x+y+1|的取值范围为[1,3];
(5)要使原求解的代数式有意义,x,y不同时为0.
当x=0时,$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=-1.当x≠0时,$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{y}{x}}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}}=\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$(t=$\frac{y}{x}≥0$),
由单调性可得,$\frac{\sqrt{3}-t}{\sqrt{1+{t}^{2}}}∈(-1,\sqrt{3}]$.
∴$\frac{\sqrt{3}x-y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围为[-1,$\sqrt{3}$];
(6)要使原求解的代数式有意义,x≠0且x≠y.
则$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{1+\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^{2}}{1-\frac{y}{x}}=\frac{1+t+{t}^{2}}{1-t}$(t=$\frac{y}{x}≥0$且t≠1),
=$-\frac{(t-1)^{2}+3(t-1)+3}{t-1}$=$-[(t-1)+\frac{3}{t-1}]-3$.
当-1≤t-1<0时,$-[(t-1)+\frac{3}{t-1}]-3$∈[1,+∞).
当t-1>0时,$-[(t-1)+\frac{3}{t-1}]-3$∈(-∞,-$2\sqrt{3}-3$].
∴$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-xy}$的取值范围为(-∞,-$2\sqrt{3}-3$]∪[1,+∞).
点评 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,基本囊括了高中阶段所学线性规划的所有题型,题目设置思维灵活,运算量较大,属难题.
A. | $\left\{\begin{array}{l}{C=0}\\{B>0}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{C=0}\\{B>0}\\{A>0}\end{array}\right.$ | C. | $\left\{\begin{array}{l}{C=0}\\{AB<0}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{C=0}\\{AB>0}\end{array}\right.$ |