题目内容
13.函数f(x)=$Asin(ωx-\frac{π}{6})+1$,(A>0,ω>0)的最大值为2,其周期为π,(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设α∈$(0,\frac{π}{2})$,则f(2α)=2,求α的值.
分析 (Ⅰ)根据已知及周期公式可求A,ω的值,即可求出函数的解析式;
(Ⅱ)由α∈$(0,\frac{π}{2})$,可求4α-$\frac{π}{6}$的范围,由f(2α)=sin(4α-$\frac{π}{6}$)+1=2,解得sin(4α-$\frac{π}{6}$)=1,解得4α-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,即可解得α的值.
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)的周期为T=π,
∴$ω=\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2,
∵f(x)的最大值为2,
∴A+1=2,解得A=1.
即f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1.
(Ⅱ)∵α∈$(0,\frac{π}{2})$,∴4α-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{11π}{6}$),
∴f(2α)=sin(4α-$\frac{π}{6}$)+1=2,即:sin(4α-$\frac{π}{6}$)=1,
∴4α-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,解得:α=$\frac{π}{6}$.
点评 本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.
练习册系列答案
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1.将函数y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为( )
A. | y=sin(2x-$\frac{π}{4}$)+1 | B. | y=2cos2x | C. | y=1-cos2x | D. | y=-cos2x |
8.函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3,x≤0\\|{2-lnx}|,x>0\end{array}$,直线y=m与函数f(x)的图象相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依次标记为a,b,c,d,下列说法错误的是( )
A. | m∈[3,4) | |
B. | 若关于x的方程f(x)+x=m恰有三个不同的实根,则m取值唯一 | |
C. | $a+b+c+d∈[{{e^5}+\frac{1}{e}-2,{e^6}+\frac{1}{e^2}-2}]$ | |
D. | abcd∈[0,e4) |