题目内容
5.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,xf′(x)-f(x)<0,若$a=\frac{f(e)}{e}$,$b=\frac{f(ln2)}{ln2}$,$c=\frac{f(-3)}{-3}$,则a,b,c的大小关系正确的是( )A. | a<b<c | B. | b<c<a | C. | a<c<b | D. | c<a<b |
分析 构造函数g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,g′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$,函数g(x)单调递减,再根据函数的奇偶性得到g(x)为偶函数,即可判断.
解答 解:构造函数g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,
∴g′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$,
∵xf′(x)-f(x)<0,
∴g′(x)<0,
∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减.
∵函数f(x)为奇函数,
∴g(x)=$\frac{f(x)}{x}$是偶函数,
∴c=$\frac{f(-3)}{-3}$=g(-3)=g(3),
∵a=$\frac{f(e)}{e}$=g(e),b=$\frac{f(ln2)}{ln2}$=g(ln2),
∴g(3)<g(e)<g(ln2),
∴c<a<b,
故选:D.
点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小,考查了推理能力,属于中档题.
练习册系列答案
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15.若集合C={m|函数y=x2+(m-2)x+2为偶函数},集合D={y|y=$\frac{x}{x-1}$,2≤x≤3}.则C∩D=( )
A. | ϕ | B. | {1} | C. | {2} | D. | [$\frac{3}{2}$,2] |
16.“x>1”是“x(x-1)>0”的( )
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |