Question

8．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3，x≤0\\|{2-lnx}|，x＞0\end{array}$，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次标记为a，b，c，d，下列说法错误的是（　　）

• A． m∈[3，4）
• B． 若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同的实根，则m取值唯一
• C． $a+b+c+d∈[{{e^5}+\frac{1}{e}-2，{e^6}+\frac{1}{e^2}-2}]$
• D． abcd∈[0，e⁴）

Answer 1

分析 画出函数图象，利用数形结合的方法解题．

解答 解：画出函数图象如图：


若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故A正确
若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+m有三个不同的交点，
而直线y=-x+3 与y=-x+$\frac{15}{4}$均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．
∴B是不正确的
由2-lnx=4得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由2-lnx=3得x=$\frac{1}{e}$，
∴c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]，
∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+$\frac{{e}^{4}}{c}$-2在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]上是递减函数，
∴a+b+c+d∈[${e}^{5}+\frac{1}{e}-2$，${e}^{6}+\frac{1}{{e}^{2}}-2$]； 
∴C是正确的
∵四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，
∴a，b是x²+2x+m-3=0的两根，
∴a+b=-2，ab=m-3，
∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，
∴ln（cd）=4
∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴D是正确的．
故选B

点评 考察了函数图象的画法，利用图象解决实际问题．数形结合是数学常用解题方法，特别是选择题．