Question

3．设f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}•a}{3}$（a∈R），如果当x∈（-∞，1）时f（x）有意义，则a的取值范围是[-1，+∞）．．

Answer 1

分析 把当x∈（-∞，1）时f（x）有意义转化为a•3^x+2^x+1＞0在x∈（-∞，1）时恒成立，分离变量a后利用函数的单调性求得g（x）=$-（\frac{2}{3}）^{x}-（\frac{1}{3}）^{x}$在x∈（-∞，1）上的范围，则答案可求．

解答 解：由x∈（-∞，1）时f（x）有意义，可知对于任意的x∈（-∞，1），$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}•a}{3}$＞0恒成立，
即a•3^x+2^x+1＞0恒成立，也就是$a＞-（\frac{2}{3}）^{x}-（\frac{1}{3}）^{x}$，
∵函数g（x）=$-（\frac{2}{3}）^{x}-（\frac{1}{3}）^{x}$在x∈（-∞，1）上为增函数，
∴a≥$-（\frac{2}{3}）^{1}-（\frac{1}{3}）^{1}=-1$．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题考查了恒成立问题的处理方法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题