题目内容
18.函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对任意x都有:f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)(1)求f(1),f(-1)的值.
(2)证明f(x)为偶函数;
(3)如果x>1时,f(x)>0,证明f(x)在(0,+∞)为增函数,并解不等式:$f(2-\frac{1}{x})+f(x)≤0$.
分析 (1)利用特殊值的方法,令x1=x2=1,和令x1=x2=-1,分别求出f(1),f(-1)的值;
(2)利用定义法证明函数的奇偶性;
(3)利用定义法判断函数单调性,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>0,对式子进行变形,可得f(x2)-f(x1)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$x1)-f(x1);对不等式:$f(2-\frac{1}{x})+f(x)≤0$,利用条件得出f(2z-1)≤f(1),利用偶函数和单调性得出解集.
解答 解:(1)令x1=x2=1
∴f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0;
令x1=x2=-1
∴f(1)=f(-1)+f(-1)
∴f(-1)=0;
(2)令x1=-1,x2=x
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴f(x)为偶函数;
(3)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>0,
f(x2)-f(x1)=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$x1)-f(x1)
=f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>0
∴f(x)在(0,+∞)为增函数;
∵$f(2-\frac{1}{x})+f(x)≤0$,
∴f(2z-1)≤f(1)
∴-1≤2x-1≤1,且x≠$\frac{1}{2}$,x≠0
∴x∈(0,$\frac{1}{2}$)∪($\frac{1}{2}$,1]
点评 考察了抽象函数和函数的奇偶性,单调性.属于常考题型,应熟练掌握解题方法.
练习册系列答案
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