Question

15．设S_n是集合A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}的含有3个元素的所有子集的元素和，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 由于已知集合为A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，利用组合的知识及等比数列的前n项和公式即可．

解答 解：由于要求集合为A={1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n-1}}$}，它的所有的三个元素的子集的和是S_n，利用子集定义它的含有三个元素的子集中含1的个数为C_n-1²，
所以它的所有的三个元素的子集的和是S_n=（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）C_n-1²=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$×$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$
=（n²-3n+2）[1-$（\frac{1}{3}）^{n}$]，所以$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=1．
故答案为：1．

点评 此题考查了等比数列的前n项和，数列的极限，子集的定义，组合数的知识，及学生的理解与计算能力．