Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的两个焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，若△PF₁F₂为直角△，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=40，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，得到本题答案．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1，
∴a²=45，b²=20，可得c²=a²-b²=25，即a=3$\sqrt{5}$，c=5．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=6\sqrt{5}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=100}\end{array}\right.$，
∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
则180=100+2mn
得mn=40，
∴|PF₁|•|PF₂|=40．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×40=20．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．