Question

20．若a＞b＞0，求证：a+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值为3．

Answer 1

分析 本题可为三个数的和，可进行变形a+$\frac{1}{b（a-b）}$=a-b+b+$\frac{1}{b（a-b）}$，用基本不等式求出最小值，即可证明结论．

解答 证明：∵a＞b＞0，
∴a+$\frac{1}{b（a-b）}$=a-b+b+$\frac{1}{b（a-b）}$≥$\root{3}{（a-b）b•\frac{1}{b（a-b）}}$=3
当且仅当a-b=b=$\frac{1}{b（a-b）}$时取等号，
∴a+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值为3．

点评 本题考查三元的基本不等a+b+c≥$3\root{3}{abc}$在求解最值中的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．