题目内容
(本小题12分)
如图,已知
为平行四边形,
,
,
,点
在
上,
,
,
与
相交于
.现将四边形
沿
折起,使点
在平面
上的射影恰在直线
上.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值;
(Ⅲ)求三棱锥N—ABF的体积.
如图,已知
















(Ⅰ)求证:


(Ⅱ)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值;
(Ⅲ)求三棱锥N—ABF的体积.

(Ⅰ)
平面
(Ⅱ)
=
(Ⅲ)


(Ⅱ)


(Ⅲ)

解:(Ⅰ)
,得
面
则平面
平面
,
由
平面
平面
,
则
在平面
上的射影在直线
上,
又
在平面
上的射影在直线
上,
则
在平面
上的射影即为点
,
故
平面
. --------4分
(Ⅱ)法一.如图,建立空间直角坐标系,
∵在原图中AB=6,∠DAB=60°,
则BN=
,DN=2
,∴折后图中BD=3,BC=3
∴N(0,
,0),D(0,0,3),C(3,0,0)
=(-1,0,0)
∴
(-1,
,0)
(0,
,-3)
∴
=
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
-----9分
法二.在线段BC上取点M,使BM=BF,则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角.
又MN=BF=2,DM=
.
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
(Ⅲ)∵AD∥EF, ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离,
∴
即所求三棱锥的体积为
------14分



则平面


由



则



又



则



故


(Ⅱ)法一.如图,建立空间直角坐标系,
∵在原图中AB=6,∠DAB=60°,
则BN=


∴N(0,


∴




∴


∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

法二.在线段BC上取点M,使BM=BF,则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角.
又MN=BF=2,DM=

∴

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

(Ⅲ)∵AD∥EF, ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离,
∴

即所求三棱锥的体积为


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