Question

19．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其棱长为1．
（1）求证：平面AB₁C∥平面A₁C₁D；
（2）求平面AB₁C与平面A₁C₁D间的距离．

Answer 1

分析 （1）证明D₁B与面AB₁C，面A₁C₁D都垂直，可得平面AB₁C∥平面A₁C₁D；
（2）设分别交于M，N，MN为平面AB₁C与平面A₁C₁D的距离． 可求D₁N=BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而MN=BD₁-BM-D₁N=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）证明：设D₁B与面AB₁C与平面A₁C₁D分别交于M，N．
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴DD₁⊥AC，
又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面D₁DB
∴BD₁⊥AC，
同理可证BD₁⊥AB₁，又AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥面AB₁C；
同理可证，BD₁⊥面C₁A₁D．
∴平面AB₁C∥平面A₁C₁D；
（2）解：由（1）知道MN为平面AB₁C与平面A₁C₁D的距离
∵△AB₁C为正三角形，边长为$\sqrt{2}$，三棱锥B-AB₁C 为正三棱锥，
∴M为△AB₁C的中心，MA=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
同理求出D₁N=BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又BD₁=$\sqrt{3}$，∴MN=BD₁-D₁N-BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平行平面的距离计算，采用了间接法，转化为点面距离．属于中档题．