Question

20．如图，已知点E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD棱上的四点，且$\frac{BF}{FC}$=$\frac{BE}{EA}$=$\frac{DH}{HA}$=$\frac{DG}{GC}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据题意，证明EF∥GH，即可得出E、F、G、H四点共面；
（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一角是直角，即可得出四边形EFGH是矩形．

解答 解：（1）证明：点E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD棱上的四点，
且$\frac{BF}{FC}$=$\frac{BE}{EA}$=$\frac{DH}{HA}$=$\frac{DG}{GC}$=$\frac{1}{2}$；
∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面；
（2）证明：如图所示，

∵EH∥BD，FG∥BD，
∴FG∥EH，
又EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力的应用问题，是基础题目．