Question

15．等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，且b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）

Answer 1

分析 （I）设等比数列{b_n}的公比为q，由于b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．利用等差数列与等比数列的通项公式可得：qb₁=1+d，q²b₁=1+4d，q³b₁=1+13d，联立解得即可．
（II）由于数列{c_n}对任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n成立，可得当n=1时，c₁=a₁b₁．当n≥2时，可得$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n-a_n-1=2，可得c_n=2×3^n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
∴qb₁=1+d，q²b₁=1+4d，q³b₁=1+13d，
联立解得b₁=1，q=3，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（II）∵数列{c_n}对任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n成立，
∴当n=1时，c₁=a₁b₁=1．
当n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n-1，可得$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n-a_n-1=2，
∴c_n=2×3^n-1．
∴n≥2时，c₁+c₂+…+c_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）=1+2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$=3ⁿ-2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．