题目内容
12.已知函数y=f(x)不恒为0,且对于任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:y=f(x)是奇函数.分析 根据抽象函数关系,结合函数奇偶性的性质,利用赋值法进行证明即可.
解答 证明:∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,
则f(0)=f(0)+f(0),
即f(0)=0,
令y=-x,
则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),
则函数f(x)是奇函数.
点评 本题主要考查函数奇偶性的证明,利用抽象函数的关系结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | -1 | B. | 1 | C. | -$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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A. | 1条 | B. | 2条 | C. | 3条 | D. | 4条 |