题目内容

四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
（1）求AM与PD所成的角；
（2）求二面角P-AM-N的余弦值；
（3）求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角
专题：空间角
分析：（1）根据条件证明AM⊥平面PCD即可．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出对应的平面的法向量，即可．
（3）利用向量法求出法向量即可．
解答： 解：（1）因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
则CD⊥侧面PAD
∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．
又PD∩CD=D，
∴AM⊥平面PCD．
∵PD?平面PCD，
∴AM⊥PD，
即AM与PD所成的角为90°．
（2）由（1）知M为PD的中点，
由题意建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
则
AB
=（2，0，0），
∵PC⊥平面AMN，∴
PC
=（2，2，-2），
则cos＜
AB
，
PC
＞=
AB
•
PC
|
AB
|•|
PC
|
=
2×2
2×
22+22+(-2)2
4
2
12
=
3
3
，
即二面角P-AM-N的余弦值为
3
3
．
（3）∵CD∥AB，
∴直线AB与平面AMN所成角，即为CD与平面AMN所成角
∵cos＜
AB
，
PC
＞=
AB
•
PC
|
AB
|•|
PC
|
=
2×2
2×
22+22+(-2)2
4
2
12
=
3
3
，
∴sin＜
AB
，
PC
＞=
1-(
3
3
)2
=
6
3
，
直线CD与平面AMN所成角的余弦值=sin＜
AB
，
PC
＞=
1-(
3
3
)2
=
6
3
．
点评：本题主要考查空间角的求解，建立坐标系，利用空间向量法是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BB1的中点，求EF与面ACC1A1所成的角．
已知二次函数r（x）=ax2-（2a-1）x+b的一个零点是2-
1
a
，函数g（x）=lnx，设函数f（x）=r（x）-g（x）．
（1）求b的值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调增区间．
若函数y=f（x）在[-2，2]是奇函数，且在[0，2]上最大值是5，则函数f（x）在[-2，0]上的最小值是
 
．
已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若f（
x
2
+
π
6
）=
1
3
，求f（x+
π
6
）的值．
已知圆C1：x2+（y-2）2=1，点Q（0，-1），动点M到圆C1的切线长与MQ的绝对值的比值为λ（λ＞0）．
（1）当λ=1和λ=
10
时，求出点M的轨迹方程；
（2）记λ=
10
时的点M的轨迹为曲线C2．若直线l1，l2的斜率均存在且垂直相交于点P，当l1，l2与曲线C1，C2相交，且恒有l1和l2被曲线C2截得的弦长相等，试求出所有满足条件的点P的坐标．
已知|
a
|=3
2
，|
b
|=4，
a
与
b
夹角135°，
m
=
a
+
b
，
n
=
a
+λ
b
，若
m
⊥
n
，则λ=
 
．
已知函数f（x）=ax-1-2lnx．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2，求证：函数f（x）在（0，e）上无零点．
如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，且垂直于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点，求证：平面ACE⊥平面PCD．

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