题目内容

如图,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,PA=AD=4,BD=4
2
,E为PD的中点.
(1)求证:BD⊥面PAC;
(2)求二面角E-AC-D的余弦值;
(3)设M为PA的中点,在棱BC上是否存在点F,
使MF∥面ACE?如果存在,请指出F点的位置;如果不存在,请说明理由.
考点:二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)由已知得AB=4,ABCD为正方形,BD⊥AC,BD⊥PA,由此能证明BD⊥面PAC.
(2)建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能求出二面角E-AC-D的余弦值.
(3)M的坐标为(0,0,2).设棱BC上存在点F(4,λ,0)使MF∥平面ACE,利用向量法能求出在棱BC上存在点F,使MF∥平面ACE,且F为棱BC的中点.
解答: (本小题满分14分)
(1)证明:在Rt△ABD中,AD=4,BD=4
2

∴AB=4,ABCD为正方形,∴BD⊥AC.…(2分)
∵PA⊥面ABCD,BD?面ABCD,∴BD⊥PA.…(3分)
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC.…(4分)
(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0)、D(0,4,0)、
P(0,0,4).…(5分)
在Rt△ABD中,AD=4,BD=4
2

∴AB=4,C(4,4,0),E(0,2,2),
AE
=(0,2,2)
AC
=(4,4,0)
.…(6分)
设面ACE的法向量
n
=(x,y,z)

n
AE
=0
n
AC
=0
2y+2z=0
4x+4y=0

可以得到面ACE的一个法向量
n
=(1,-1,1)
.…(7分)
又∵PA⊥平面ABCD,∴
AP
=(0,0,4)
为面ACD的一个法向量,…(8分)
cos<
n
AP
>=
n
AP
|
n
||
AP
|
=
4
3
×4
=
3
3

∴二面角E-AC-D的余弦值为
3
3
.…(10分)
(3)解:∵M为PA的中点,∴M的坐标为(0,0,2).
设棱BC上存在点F(4,λ,0)使MF∥平面ACE,
MF
=(4,λ,-2)
,…(11分)
由(2)得面ACE的一个法向量
n
=(1,-1,1)

MF
n
=0⇒λ=2
,…(13分)
∴在棱BC上存在点F,使MF∥平面ACE,且F为棱BC的中点.…(14分)
(用其他方法解答的,可以参照给分)
点评:本题考查BD⊥面PAC的证明,考查二面角E-AC-D的余弦值的求法,考查在棱BC上是否存在点F,使MF∥面ACE的判断与求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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