题目内容
【题目】如图所示，在三棱锥
中，
，
，
，
，
.
(Ⅰ)求证：平面
平面
；
(Ⅱ)
为棱
上一点，试确定点的位置，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 
为棱
的中点
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得AC＝
，由勾股定理得PA⊥AC，由PA⊥BC，得PA⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．
（Ⅱ）设BC的中点为D，连结AD，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出E为棱AC的中点．
(Ⅰ)在
中，由余弦定理得
，即
，
又
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面，
平面
，
平面
平面.
(Ⅱ)设
的中点为
，连接
，
，
，又
，
.
如图所示，以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
，
，
设
(
)，则
设平面
的法向量为
，则
，令
，可得
，
，设直线
与平面所成角为
，
则
，
整理得
，
，
，
为棱的中点.
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