题目内容
【题目】设各项均为正数的数列
的前
项和为
，已知
，且
对一切
都成立.
(1)当
时.
①求数列的通项公式；
②若
，求数列
的前项的和
；
(2)是否存在实数
，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)①
；②
；(2)存在，0.
【解析】
(1) ①
时，可得到
，即
，然后用累乘法可得
，进而可得出数列
是首项为1，公比为2的等比数列，，②用错位相减法算出即可
(2)先由
算出
，然后再证明即可
(1)①若，因为
则
，
.
又∵
，
，∴，
∴
，
化简，得. ①
∴当
时，
. ②
②－①，得
，∴
.
∵当
时，
，∴时上式也成立，
∴数列.
②因为
，∴
所以
所以
将两式相减得：
所以
(2)令，得
.令
，得
.
要使数列是等差数列，必须有，解得.
当时，
，且
.
当时，
，
整理，得
，
，
从而
，
化简，得
，所以
.
综上所述，
，
所以时，数列是等差数列.
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【题目】某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45．
样本频率分布表：
分组 | 频数 | 频率 |
[41，51） | 2 | |
[51，61） | 1 | |
[61，71） | 4 | |
[71，81） | 6 | |
[81，91） | 10 | |
[91，101） | ||
[101，111） | 2 |
（1） 完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
