题目内容
【题目】如图,已知椭圆的离心率为
,右准线方程为
,
、
分别是椭圆
的左、右顶点,过右焦点
且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)记、
的面积分别为
、
,若
,求
的值;
(3)设线段的中点为
,直线
与右准线相交于点
,记直线
、
、
的斜率分别为
、
、
,求
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为,根据题意列出关于
、
的方程组,进而可求出
的值,由此可得出椭圆
的标准方程;
(2)设点,
,根据题中三角形面积的比值,可得出
,再由点
、
在椭圆上,可求出点
的坐标,即可求出直线
的斜率;
(3)依题意可知,点、
在椭圆
上,根据点差法、三点共线、直线方程、斜率公式,化简整理即可得出
的值.
(1)设椭圆的焦距为,
依题意,,且
,解得
,
,故
.
所以椭圆的标准方程为
;
(2)设点,
.
据题意,,即
,整理可得
,所以
.
代入坐标,可得,即
.
又点、
在椭圆
上,所以
,解得
.
所以直线的斜率
;
(3)依题意,点、
在椭圆
上,
所以,两式相减,得
即,所以
,即
,
所以直线的方程为
,令
,得
,即
.
所以.
又直线的方程为
,与椭圆
联立方程组
,
整理得,
所以,得
,
.
所以点的坐标为
.
同理,点的坐标为
.
又点、
、
三点共线,
所以,整理得
,
依题意,,
,故
.
由可得,
,即
.
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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