题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)求实数的值,使得
为奇函数;
(2)若关于的方程
有两个不同实数解,求
的取值范围;
(3)若关于的不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
(3)
【解析】
(1)若为奇函数,则
,进而可得实数
的值,
(2)若关于的方程
有两个不同的实数解,即方程
有两个不同实数解,解出两个实数根,然后满足对数的真数为正即可.
(3)若关于的不等式
对任意
恒成立,即
,对任意
恒成立,打开绝对值,进而可得
的取值范围.
(1) 为奇函数,则
即
即
所以
即 ,所以
解得:
(2) 方程有两个不同实数解
即方程有两个不同实数解
即方程有两个不同实数解.
设,则
可以化为:
,即
当时方程不可能有两个不等实数根,所以
则或
,
即或
,
根据对数的真数必须大于0有,即
即: 则
且
又,则
故方程满足条件的实数的范围是
.
(3) 不等式对任意
恒成立
即不等式对任意
恒成立.
即对任意
恒成立.
所以对任意
恒成立.
即对任意
恒成立.
即 ,
由
(当且仅当时取等号).
在
上单调递增,所以当
时,
所以
当时,不等式
对任意
恒成立.

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