题目内容
【题目】对由和
这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“
”的最后一个
所在数位是第
(
,且
)位,则称子串“
”在第
位出现;再继续从第
位按从左往右的顺序找子串“
”,若第二个子串“
”的最后一个
所在数位是第
位(其中
且
),则称子串“
”在第
位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串
中,子串“
”在第
位和第
位出现,而不是在第
位和第
位出现.记在
位由
组成的所有字符串中,子串“
”在第
位出现的字符串的个数为
.
(1)求的值;
(2)求证:对任意的正整数,
是
的倍数.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】
(1)直接由题意分析求解的值,即可求得答案;
(2)当且
时,当最后
位是
时,前
个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即
和
,共有
种可能.当最后
位是
时,若最后
位是
,且前
位形成的字符串中是子串“
”在第
位出现的字符串,此时不满足条件.可得
且
,
,
,然后利用数学归纳法证明
是
的倍数,即可求得答案.
(1) 在
位数字符串中,子串“
”在第
位出现有且只有
个,即
,
.
在
位数字符串中,子串“
”在第
位出现有
个,即
与
,
(2)当且
时,
当最后位是
时,前
个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即
和
,
共有
种可能.
当最后
位是
时,若最后
位是
,且前
位形成的字符串中是子串“
”在第
位出现的字符串,此时不满足条件.
且
.
,
.
下面用数学归纳法证明是
的倍数.
①当时,
是
的倍数;
②假设当时,
是
的倍数,
当时,
是
的倍数,且
也是
的倍数,
是
的倍数.
即当时,
是
的倍数.
由①,②可知,对任意的正整数,
是
的倍数.
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