题目内容

已知函数,其中为大于零的常数,,函数的图像与坐标轴交点处的切线为,函数的图像与直线交点处的切线为,且.
(I)若在闭区间上存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(II)对于函数公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)利用参数分离法将不等式问题转化为,等价转化为处理,于是问题的核心就是求函数,利用导数求解,但同时需要注意题中的隐含条件将的值确定下来;
(Ⅱ)先确定函数与函数的解析式,然后引入函数,通过证明,进而得到,得到,于是就说明原结论成立.
试题解析:解(Ⅰ)函数的图象与坐标轴的交点为
  
函数的图象与直线的交点为
 
由题意可知,
,所以              3分
不等式可化为,即
,则

时,
上是减函数
上是减函数
因此,在对任意的,不等式成立,
只需
所以实数的取值范围是             8分
(Ⅱ)证明:的公共定义域为,由(Ⅰ)可知

,则
上是增函数
,即            ①
,则
时,;当时,
有最大值,因此    ②
由①②得,即
又由①得,由②得

故函数在其公共定义域的所有偏差都大于2     &nb

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