题目内容
设是定义在
的可导函数,且不恒为0,记
.若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶负函数 ”;若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶不减函数”(
为函数
的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数
的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数
,使得
恒成立,试判断
是否为“2阶负函数”?并说明理由.
(1)
(2)所有满足题设的都是“2阶负函数”
解析试题分析:解:(1)依题意,在
上单调递增,
故 恒成立,得
, 2分
因为,所以
. 4分
而当时,
显然在
恒成立,
所以. 6分
(2)①先证:
若不存在正实数,使得
,则
恒成立. 8分
假设存在正实数,使得
,则有
,
由题意,当时,
,可得
在
上单调递增,
当时,
恒成立,即
恒成立,
故必存在,使得
(其中
为任意常数),
这与恒成立(即
有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当时,
,即
; 13分
②再证无解:
假设存在正实数,使得
,
则对于任意,有
,即有
,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以无解,
综上得,即
,
故所有满足题设的都是“2阶负函数”. 16分
考点:新定义
点评:主要是考查了新定义的运用,以及函数与方程的运用,属于中档题。

练习册系列答案
相关题目