Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时）．

Answer 1

（1）；（2）当车流密度为100辆/千米时 ，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

解析试题分析：(1)当0≤x≤20时，速度v(x)是一个常数60；当0≤x≤20时，设v(x)＝ax＋b.
当x =20时，v=60；当x=200时，v=0，代入v(x)＝ax＋b得：20a＋b＝60，200a＋b＝0.
解这个方程组便可得a、b的值，从而得函数v(x)的表达式.
(2)由(1)可得f(x)＝x·v(x)的解析式，该函数是一个分段函数，所以分别求出每一段的最大值，然后比较它们的大小，取大者即车流量的最大值．
试题解析：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知条件得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－，b＝.
故函数v(x)的表达式为
(2)依题意并由(1)可得：
.
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，≤，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时 ，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
考点：1、函数的应用；2、分段函数；3、函数的最值；4、重要不等式.