题目内容
已知函数
.
⑴ 求函数
的单调区间；
⑵ 如果对于任意的
，
总成立，求实数
的取值范围；
⑶ 设函数
，
. 过点
作函数
图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列
，求数列的所有项之和
的值.
(1)
.;(2)
.(3)
.
解析试题分析：(1)利用求导的基本思路求解，注意导数的四则运算；（2）利用转化思想将问题转化为
总成立，只需时
.借助求导，研究
的性质，通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围；（3）化简函数，利用导数的几何含义求解曲线的切线方程，化简得到
，分析得到
，
，则这两个函数的图像均关于点
对称进行求解数列的所有项之和的值.
试题解析：(1) 由于，所以
. (2分)
当
，即
时，
；
当
，即
时，
.
所以的单调递增区间为
，
单调递减区间为. (4分)
(2) 令
，要使总成立，只需时.
对
求导得
，
令，则
，(
)
所以
在
上为增函数，所以
. (6分)
对分类讨论：
① 当
时，
恒成立，所以在上为增函数，所以
，即
恒成立；
② 当
时，
在上有实根
，因为在
上为增函数，
所以当
时，
，所以
，不符合题意；
③ 当
时，
恒成立，所以在上为减函数，则
，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是. (9分)
(3) 因为
，所以
，
设切点坐标为
，则斜率为
，
切线方程为
， &n
练习册系列答案
相关题目
（
为常数，
为自然对数的底）
时，求
的单调区间；
上无零点，求
，在
上存在两个不同的
使得
成立，求
（
）在区间
上有最大值
和最小值
．设
， 
、
的值；
在
上有解，求实数
的取值范围.
万元与投入
万元之间满足：
为常数。当
万元时，
万元；
万元时，
万元。 （参考数据：
）
的解析式；
的最大值。（利润＝旅游增加值－投入）。
万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出
万元，第二年需要支出
万元，第三年需要支出
万元，……，每年都比上一年增加支出
万元，而每年的生产收入都为
万元．假设这套生产设备投入使用
年，
，生产成本等于生产设备购置费与这
等于这
，求
万元的价格出售该套设备；
万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．
,其中
为大于零的常数,
,函数
的图像与坐标轴交点处的切线为
,函数
的图像与直线
交点处的切线为
,且
.
上存在
使不等式
成立,求实数
的取值范围;
,我们把
的值称为两函数在
．
；
在
上的单调；
上的值域是
的值.