题目内容
【题目】已知有穷数列,
,
,
,
.若数列
中各项都是集合
的元素,则称该数列为
数列.对于
数列
,定义如下操作过程
:从
中任取两项
,
,将
的值添在
的最后,然后删除
,
,这样得到一个
项的新数列
(约定:一个数也视作数列).若
还是
数列,可继续实施操作过程
,得到的新数列记作
,
,如此经过
次操作后得到的新数列记作
.
(1)设,
,
请写出
的所有可能的结果;
(2)求证:对于一个项的
数列
操作
总可以进行
次;
(3)设,
,
,
,
,
,
,
,
,
求
的可能结果,并说明理由.
【答案】(1),
;
,
;
,
.;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)直接按定义来操作,每次取两个数代入计算即可求出的所有可能的结果;
(2)先通过作差得到每次操作后新数列仍是数列;再根据每次操作中都是增加一项,删除两项即可得到结论;
(3)先定义运算:,并证明这种运算满足交换律和结合律;再结合(2)可知
中仅有一项,再按定义先求出
,综合即可得到
的可能结果.
(1)直接按定义来操作,当取0,时代入计算可得:
,
;
当取0,时可得
,
;
当取,
时,可得
,
.
故有如下的三种可能结果:,
;
,
;
,
.
(2)因为对,
,有
且
所以,即每次操作后新数列仍是
数列.
又由于每次操作中都是增加一项,删除两项,
所以对数列
每操作一次,项数就减少一项,
所以对项的
数列
可进行
次操作(最后只剩下一项).
(3)由(2)可知中仅有一项.
对于满足,
的实数
,
定义运算:
,
下面证明这种运算满足交换律和结合律.
因为,且
,所以
,即该运算满足交换律;
因为
且
所以,即该运算满足结合律.
所以中的项与实施的具体操作过程无关,
选择如下操作过程求
由(1)可知;
易知,
,
,
;
所以,0,0,0,0;
易知经过4次操作后剩下一项为
.
综上可知:.
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