题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)设函数.若存在区间
,使得函数
在
上的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 极小值为,没有极大值.(2)
【解析】
(1)根据题意,先对函数进行求导,解出
的根,讨论方程的解的左右两侧的符号,确定极值点,从而求解出结果。
(2)根据题意,将其转化为在
上至少有两个不同的正根,再利用导数求出
的取值范围。
解:(1)定义域为
,
,
时,
,
时,
,
∴在
上是减函数,在
上是增函数,
∴的极小值为
,没有极大值.
(2),
则,令
,
则.
当时,
,
(即
)为增函数,
又,
所以在区间
上递增.
因为在
上的值域是
,
所以,
,
,
则在
上至少有两个不同的正根.
,令
,
求导得.
令,则
,
所以在
上递增,
,
,
当时,
,∴
,
当时,
,∴
,
所以在
上递减,在
上递增,
所以,所以
.
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