题目内容
设定义在R的函数
,
R. 当
时,
取得极大值
,且函数
的图象关于点
对称.
(I)求函数
的表达式;
(II)判断函数
的图象上是否存在两点,使得以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标在区间
上,并说明理由;
(III)设
,
(
),求证:
.







(I)求函数

(II)判断函数







(I)
.
(II)两点的坐标分别为
或
.
(III)见解析

(II)两点的坐标分别为


(III)见解析
(I)将函数
的图象向右平移一个单位得到函数
的图象,
∴ 函数
的图象关于点
对称,即
为奇函数.
∴
. ……………………………..2分
由题意可得
,解得
.
∴
. ……………………………..4分
(II)存在满足题意的两点. ……………………………..6分
由(I)得
.
假设存在两切点
,
,且
.
则
.
∵
,∴
或
,
即
或
.
从而可求得两点的坐标分别为
或
.
…………………………….9分
(III)∵当
时,
,∴
在
上递减.
由已知得
,∴
,即
.
……………………………..11分
又
时,
;
时,
,
∴
在
上递增,
在
上递减.
∵
,∴
.
∵
,且
,
∴
. ……………………………13分
∴
. ………………………..14分


∴ 函数



∴

由题意可得


∴


由(I)得

假设存在两切点



则

∵



即


从而可求得两点的坐标分别为


…………………………….9分
(III)∵当




由已知得



……………………………..11分
又




∴




∵


∵


∴




练习册系列答案
相关题目