Question

设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.
（I）求函数的表达式；
（II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；
 （III）设，（），求证：.

Answer 1

（I）.
（II）两点的坐标分别为或.
（III）见解析

（I）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，  
∴ 函数的图象关于点对称，即为奇函数. 
∴.                       ……………………………..2分
由题意可得，解得.
∴.                          ……………………………..4分
  （II）存在满足题意的两点.                         ……………………………..6分
由（I）得.
假设存在两切点，，且.
则.   
∵，∴或，
即或. 
从而可求得两点的坐标分别为或.
…………………………….9分
（III）∵当时，，∴ 在上递减.
由已知得，∴，即.
……………………………..11分
又时，；时，，
∴在上递增，在上递减.
∵，∴.  
∵，且，
∴.          ……………………………13分
∴.  ………………………..14分