题目内容
已知函数f(x)=
(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求a的取值范围;
(2)是否存在实数a>0,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出a的取值范围?若不存在,请说明理由。
(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求a的取值范围;
(2)是否存在实数a>0,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出a的取值范围?若不存在,请说明理由。
(Ⅰ) a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) (Ⅱ)a的取值范围是(1, )
(1)由已知,得h(x)= 且x>0,
则hˊ(x)=ax+2-=, (2分)
∵函数h(x)存在单调递增区间,
∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax2+2x-1≥0有x>0的解. (3分)
① 当a<0时, y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ="4+4a>0," 即a>-1. 即-1<a<0(5分)
② 当a>0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-1≥0 一定有x>0的解. (6分)
综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) (7分)
(2)方程
即为
等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx="0" . (8分)
设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题. (9分)
Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-= (10分)
当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数;
当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数;
若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须
(13分)
解得, 所以a的取值范围是(1, ) (14分)
则hˊ(x)=ax+2-=, (2分)
∵函数h(x)存在单调递增区间,
∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax2+2x-1≥0有x>0的解. (3分)
① 当a<0时, y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ="4+4a>0," 即a>-1. 即-1<a<0(5分)
② 当a>0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-1≥0 一定有x>0的解. (6分)
综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) (7分)
(2)方程
即为
等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx="0" . (8分)
设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题. (9分)
Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-= (10分)
当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数;
当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数;
若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须
(13分)
解得, 所以a的取值范围是(1, ) (14分)
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