Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，2a、2b、3c成等比数列．
（Ⅰ）求cosA•cosC的值；
（Ⅱ）若a＞c，且b=2$\sqrt{3}$，求a、c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意A+B+C=π，且2B=A+C，解得B=$\frac{π}{3}$，由4b²=6ac，由正弦定理可解得sinAsinC=$\frac{1}{2}$，由cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-$\frac{1}{2}$，即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）cosAcosC=0，且a＞c，解得cosA=0，可求A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，求得a=2c，利用勾股定理即可求值．

解答 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，且2B=A+C，
∴B=$\frac{π}{3}$，
又∵4b²=6ac，
∴2sin²B=3sinAsinC，
∴sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∵cos（A+C）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cosAcosC-sinAsinC=-$\frac{1}{2}$，
∴cosAcosC=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）cosAcosC=0，且a＞c，∴cosA=0，
则A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，∴a=2c，
∵b=2$\sqrt{3}$，∴b²+c²=4c²，
故c=2，a=4．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，勾股定理及等差等比数列等知识的应用，综合性技巧性较强，属于中档题．