Question

13．在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，那么b等于（　　）

• A． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• B． $1+\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．

解答 解：∵2b=a+c，得a²+c²=4b²-2ac，
又∵△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，∠B=30°，
故由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin30°，
得ac=6．
∴a²+c²=4b²-12．
由余弦定理，得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
解得b²=4+2$\sqrt{3}$．
又b为边长，则b＞0，
∴b=1+$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．