题目内容

12．已知数列{an}的满足${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$，则a2015=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．

分析 由${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$可知数列{an}的周期为6，从而解得．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}+\sqrt{3}}}{{3-\sqrt{3}{a_n}}}$，${a_1}=3\sqrt{3}$，
∴a2=$\frac{3{a}_{1}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{1}}$=-$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$，
a3=$\frac{3{a}_{2}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
a4=$\frac{3{a}_{3}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{3}}$=-$\frac{1}{9}$$\sqrt{3}$，
a5=$\frac{3{a}_{4}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{4}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{3}$，
a6=$\frac{3{a}_{5}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}{a}_{5}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
a7=$\frac{3×\frac{2}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}•\frac{2}{3}\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$，
故数列{an}的周期为6，
而2015=335×6+5，
故a2015=a5=$\frac{1}{5}$$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查了数列的递推公式的应用及周期性的应用，属于基础题．

练习册系列答案
相关题目
2．考察下列各式

你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PE中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求EA和平面ABCD所成的角；
（Ⅳ）求二面角E-AC-D的正切值．
20．函数f（x）=ln（x2+1）的导函数f′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
7．数列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2=an+1-an（n∈N*），则a2015=（　　）
A．1B．-1C．-2D．2
17．数列{an}中，a1=2，${a_{n+1}}={a_n}+lg（1+\frac{1}{n}）$，则a100=4．
4．计算：${A}_{3}^{2}{+A}_{4}^{2}$+…+${A}_{100}^{2}$．
1．点M（6，-2$\sqrt{3}$）的极坐标为（　　）
A．（4$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）B．（4$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$）C．（4$\sqrt{3}$，$\frac{11π}{6}$）D．（4$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）
2．P点的直角坐标（-1，$\sqrt{3}$）化成极坐标为（　　）
A．（2，$\frac{2}{3}$π）B．（$\sqrt{2}$，$\frac{2}{3}$π）C．（$\sqrt{2}$，$\frac{4}{3}$π）D．（2，$\frac{4}{3}$π）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网