题目内容

17.数列{an}中,a1=2,${a_{n+1}}={a_n}+lg(1+\frac{1}{n})$,则a100=4.

分析 由${a_{n+1}}={a_n}+lg(1+\frac{1}{n})$可得an+1-an=lg($\frac{n+1}{n}$),从而利用叠加法求和即可.

解答 解:∵${a_{n+1}}={a_n}+lg(1+\frac{1}{n})$,
∴an+1-an=lg($\frac{n+1}{n}$);
∴a2-a1=lg2,(1)
a3-a2=lg$\frac{3}{2}$,(2)

a100-a99=lg$\frac{100}{99}$,(99)
(1)+(2)+…+(99)得,
a100-a1=lg2+lg$\frac{3}{2}$+…+lg$\frac{100}{99}$=lg100=2,
故a100=a1+2=2+2=4;
故答案为:4.

点评 本题考查了数列的递推公式的化简与应用,同时考查了叠加法与对数的运算应用,属于中档题.

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