Question

5．已知圆E的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+n}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数，n∈R）
（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求圆E的直角坐标方程；
（2）圆E上有且仅有三点到直线l的距离为$\sqrt{3}$，求实数n的值．

Answer 1

分析 （1）圆E的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），化为ρ²=$4\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ）$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）圆心$（\sqrt{3}，3）$到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$，由于圆E上有且仅有三点到直线l的距离为$\sqrt{3}$，半径r=2$\sqrt{3}$．可得d=$\sqrt{3}$，解出即可．

解答 解：（1）圆E的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），化为ρ²=$4\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ）$，
∴x²+y²=6y+2$\sqrt{3}$x，配方为：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y-3）²=12．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+n}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数，n∈R）化为2x-y-2n=0．
圆心$（\sqrt{3}，3）$到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$，
∵圆E上有且仅有三点到直线l的距离为$\sqrt{3}$，半径r=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{3}$，
解得n=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{15}-3}{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线及点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．