Question

13．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=$\sqrt{2}$，AD=1，DC=2，点E为AB中点．
（1）求直线A₁D与直线CE所成角的余弦值．
（2）求二面角D₁-EC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线所成角的定义即可求直线A₁D与直线CE所成角的余弦值．
（2）根据二面角的定义求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角D₁-EC-A的大小．

解答 解：（1）连接B₁C，B₁E，由题意B₁C∥A₁D，
则∠B₁CE即为直线A₁D与直线CE所成角，
在长方体中，A₁A=$\sqrt{2}$，AD=1，DC=2，
E为AB中点，有B₁C=B₁E=$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{2}$，
又在等腰△B₁EC中，有cos∠B₁CE=$\frac{\frac{1}{2}EC}{{B}_{1}C}$=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故直线A₁D与CE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（2）连DE，由条件得DE=CE=$\sqrt{2}$，
又DC=2，
在△DEC中，DE²+EC²=CD²，
∴DE⊥EC，
又根据已知得D₁D⊥EC，且D₁D∩DE=D，
∴EC⊥平面D₁DE，D₁E?平面D₁DE，
∴EC⊥D₁E，
∴∠D₁DE即为所求的角．
在△D₁DE中，tanD₁DE=$\frac{{D}_{1}D}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，
又∠D₁DE为锐角，
∴∠D₁DE=45°，
故二面角D₁-EC-A的大小为45°．

点评 本题主要考查异面直线所成角以及二面角的求解，根据空间角的定义，利用定义法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．