题目内容

16.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)若AA1=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$AB,求二面角C1-AD-C的大小.

分析 (1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)根据二面角的定义求出二面角的平面角,结合三角形的边角关系即可,求二面角C1-AD-C的大小.

解答 解:$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}(1){C_1}C⊥平面ABC\\ AD?平面ABC\end{array}\right\}⇒{C_1}C⊥AD\\ AD⊥{C_1}D\\ \\ D{C_1}∩C{C_1}={C_1}\end{array}\right\}⇒$AD⊥平面CDC1
则AD⊥平面BCC1B1
∵AD?平面ADC1
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)∵C1D⊥AD,CD⊥AD,
∴∠CDC1为二面角的平面角,
在Rt△C1CD中,∵$A{A_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB$,
∴$CD=\frac{1}{2}{C_1}D,∠CD{C_1}={60^0}$,
∴二面角C1-AD-C的大小为600

点评 本题主要考查面面垂直的判定,以及二面角的求解,利用定义法是解决本题的关键.

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