Question

5．集合A={x|0＜ax+1≤4}，集合B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求a的值；
（2）若B⊆A，求a的值；
（3）A与B是否能相等？若能，求出a的值．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，利用集合之间的关系即可解出；
（2））对a分类讨论，利用集合之间的关系即可解出；
（3）对a分类讨论，利用集合相等即可判断出．

解答 解：（1）当a=0时，A=R，不满足A⊆B，舍去；
当a＞0时，A=$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{a}}\\{\frac{3}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a≥2，满足a＞0，∴a≥2；
当a＜0时，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜\frac{3}{a}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-6，满足a＜0，∴a＜-6．
综上可得：a≥2或a＜-6．
（2））当a=0时，A=R，满足B⊆A，因此a=0；
当a＞0时，A=$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≤-\frac{1}{2}}\\{2≤\frac{3}{a}}\end{array}\right.$，解得a$≤\frac{3}{2}$，又a＞0，∴$0＜a≤\frac{3}{2}$；
当a＜0时，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{a}≤-\frac{1}{2}}\\{2＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得$a＞-\frac{1}{2}$，又a＜0，∴$-\frac{1}{2}$＜a＜0．
综上可得：$-\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$．
（3）当a=0时，A=R，不满足A=B，舍去；
当a＞0时，A$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，若A=B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}=-\frac{1}{a}}\\{2=\frac{3}{a}}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
当a＜0时，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，不可能A=B．
综上可得：A与B不能相等．

点评 本题考查了集合之间的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．