题目内容
【题目】已知函数(其中
).
(1)讨论函数的极值;
(2)对任意,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)求出函数的定义域、导函数,对和
分两种情况讨论可得;
(2)由(1)知当时,不符合题意;当
时,
的最大值为
要使
恒成立,即是使
成立,令
利用导数分析其单调性,即可求得
的取值范围.
(1)的定义域为
,
,
①当时,
,所以
在
上是减函数,
无极值.
②当时,令
,得
,
在上,
,
是增函数;在
上,
,
是减函数.
所以有极大值
,无极小值.
(2)由(1)知,①当时,
是减函数,令
,则
,
,不符合题意,
②当时,
的最大值为
,
要使得对任意,
恒成立,
即要使不等式成立,
则有解.
令,所以
令,由
,得
.
在上,
,则
在
上是增函数;
在上,
,则
在
上是减函数.
所以,即
,
故在
上是减函数,又
,
要使成立,则
,即
的取值范围为
.
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