题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,若关于
的方程
有唯一实数解,试求实数
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,
,且不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)对函数求导,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得在点
的切线方程;(2)原方程等价于
,对
求导得到函数
单调区间,可知当
时,
;当
时,
,结合单调性可得到实数
的取值范围;(3)对函数
求导,可得
,
恒成立
恒成立,将
用
替换,并构造函数
,对
求导可求得函数
在
上的最小值,即可知道实数
的取值范围.
(1)当时,有
,
,
,
过点
的切线方程为
,即
.
(2)当时,有
,其定义域为
,
从而方程,可化为
,令
,
则,
由或
,
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
且,
又当时,
;当
时,
,
关于
的方程
有唯一实数解,所以实数
的取值范围是
或
.
(3)的定义域为
,
令,
又因为函数有两个极值点
,
有两个不等实数根
,
,且
,
从而,
由不等式恒成立
恒成立,
,
令,
,
当时恒成立,所以函数
在
上单调递减,
,故实数
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) | 0 | 1 000 | 2 000 | 3 000 | 4 000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.