题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)若函数有两个极值点
,
,证明:
.
【答案】(1)时,
在
单调递增;
时,
在区间
,
单调递增;在区间
单调递减.(2)见解析
【解析】
(1)求出导函数,然后根据方程
的判别式得到导函数的符号,进而得到函数的单调性;(2)由题意得到方程
有两个根
,故可得
,且
.然后可得
,最后利用导数可证得
,从而不等式成立.
(1)∵,
∴.
①当,即
时,
,
所以在
单调递增;
②当,即
时,
令,得
,
,且
,
,
当时,
;
当时,
;
∴单调递增区间为
,
;
单调递减区间为.
综上所述:当时,
在
单调递增;
时,
在区间
,
单调递增;在区间
单调递减.
(2)由(1)得.
∵函数有两个极值点
,
,
∴方程有两个根
,
,
∴,且
,解得
.
由题意得
.
令,
则,
∴在
上单调递减,
∴,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款,大学生
的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人,男20人)在某天的走路步数,经统计,其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别:
、0~2000步,(说明:“0~2000”表示“大于或等于0,小于2000”,以下同理),
、2000~5000步,
、5000~8000步,
、8000~10000步,
、10000~12000步,且
三种类别的人数比例为
,将统计结果绘制如图所示的柱形图;男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图.
参与者 | 超越者 | 合计 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
合计 | 40 |
若某人一天的走路步数大于或等于8000,则被系统认定为“超越者”,否则被系统认定为“参与者”.
(Ⅰ)若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布,作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布,试估计大学生
的参与“微信运动”的400位微信好友中,每天走路步数在
(Ⅱ)若在大学生该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中,按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查,然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访,求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率;
(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的列联表,并据此判断能否有
的把握认为“认定类别”与“性别”有关?