Question

7．四边形ABCD是边长为1的正方形，以C为圆心的圆与直线BD相切，Q为圆内的任意一点，如图所示，$\overrightarrow{AQ}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，则y-x的取值范围是（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，可得直线BD的方程x+y-1=0．算出以点C为圆心且与直线BD相切的圆方程为（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．设Q（m，n），根据题中的向量等式算出P的坐标为（m，n），由Q在圆内或圆上得到（m-1）²+（n-1）²≤$\frac{1}{4}$．将此不等式化成关于m的一元二次不等式，利用根的判别式加以计算，可得y-x取值范围．

解答 解：以A为坐标原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系如图所示：
则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（1，0）
直线BD的方程为x+y=1，∴点C到BD的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为
（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$．
设Q（m，n），则$\overrightarrow{AQ}$=（m，n），$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），
∵$\overrightarrow{AQ}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，（x，y∈R），
∴（m，n）=x（0，1）+y（1，0）=（x，y），
可得x=m且y=n，Q的坐标为（m，n）．
∵Q在圆内或圆上，
∴（m-1）²+（n-1）²≤$\frac{1}{2}$，
设y-x=t，即n-m=t，得n=t+m，
代入上式化简整理得2m²-（4-2t）m-2t+$\frac{7}{4}$≤0，
若要上述不等式有实数解，
则△=（4-2t）²-4×2×（$\frac{7}{4}$-2t）≥0，
化简得2t²-4t+1≥0，
解得t≥$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或t≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
∴y-x取值范围是（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故答案为：（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题在直角梯形中给出满足条件的向量式，求参数的取值范围．着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系与向量的坐标运算等知识，属于中档题．同时考查了逻辑推理能力与计算能力，考查了数形结合、转化化归的数学思想，是一道不错的综合题．