题目内容
19．
如图，在边长为6的正三角形△ABC内，△APQ的边PQ在BC边上滑动且PQ=2，求△APQ三边的平方和的最大值与最小值．
分析 通过设QC=x（0≤x≤4），则BP=4-x，利用余弦定理可知AQ2=QC2+AC2-2QC•AC•cos60°、AP2=BP2+AB2-2BP•AB•coscos60°，进而计算可得结论．
解答 解：依题意，∠B=∠C=60°，AC=AB=6，
设QC=x（0≤x≤4），则BP=4-x，
由余弦定理可知：AQ2=QC2+AC2-2QC•AC•cos60°
=x2+36-6x，
同理AP2=BP2+AB2-2BP•AB•coscos60°
=（4-x）2+36-6（4-x）
=x2-2x+28，
∴记△APQ三边的平方和为L，
则L=x2+36-6x+4+x2-2x+28
=2x2-8x+64
=2（x-2）2+56，
∴当x=0时L取最大值，即Lmax=2（0-2）2+56=64；
当x=2时L取最小值，即Lmin=2（2-2）2+56=56；
∴△APQ三边的平方和的最大值与最小值分别为64、56．
点评 本题考查解三角形，利用余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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