Question

17．求下列函数定积分．
（1）已知f（x）=4x³+4sinx，求${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$f（x）dx；
（2）已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤0）}\\{cosx-1，（x＞0）}\end{array}\right.$，求${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx．

Answer 1

分析 （1）由和的积分等于积分的和展开，然后求出被积函数的原函数，直接由微积分基本定理得答案；
（2）把积分区间分段，然后求出被积函数的原函数，再由微积分基本定理得答案．

解答 解：（1）由于f（x）=4x³+4sinx，
则${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$f（x）dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（4x³+4sinx）dx
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$4x³dx+${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$4sinxdx
=（x⁴）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$+（-4cosx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$
=$（\frac{π}{2}）^{4}-（-\frac{π}{2}）^{4}$+$（-4cos\frac{π}{2}）-（-4cos（-\frac{π}{2}））$
=0；
（2）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤0）}\\{cosx-1，（x＞0）}\end{array}\right.$，
则${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{0}$x²dx+${∫}_{0}^{1}$（cosx-1）dx
=$（\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{-1}^{0}$+$（sinx-x）{|}_{0}^{1}$
=0+$\frac{1}{3}$+sin1-1-0
=sin1-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算，考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题．