Question

18．已知f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+4}$．
（1）若关于x的不等式f（x）＞k的解集是{x|x＜-4，或x＞-1}，求实数k的值；
（2）设g（x）=x²-2mx+3，x∈[1，3]，若对任意的x₁＞0，总存在x₂∈[1，3]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x²+4＞0，把f（x）＞k化为2x＞k（x²+4），利用一元二次不等式的解集求出k的值；
（2）根据题意，把问题转化为f（x）_max＜g（x）_max，求出对应区间上的最大值，列出不等式，
即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵x²+4＞0，
∴不等式f（x）＞k可化为2x＞k（x²+4），
即kx²-2x+4k＜0；
又该不等式的解集是{x|x＜-4，或x＞-1}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-4-1=\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{2}{5}$；
（2）对任意x₁＞0，总存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
等价于f（x）_max＜g（x）_max；
而f（x）在x＞0时的最大值为f（2）=$\frac{1}{2}$，
且g（x）=x²-2mx+3，x∈[1，3]，
∴m＜2时，g（x）在[1，3]上的最大值是g（3）=12-m，
令12-m＞$\frac{1}{2}$，解得m＜$\frac{23}{2}$，
∴应取m＜2；
m≥2时，g（x）在[1，3]上的最大值是g（1）=4-2m，
令4-2m＞$\frac{1}{2}$，解得m＜$\frac{7}{4}$；
不合题意，舍去；
综上，实数m的取值范围是{m|m＜2}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．