Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂，且与椭圆交于A，B两点，与y轴交于M点，若$\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{B{F}_{2}}$．当|k|≤2$\sqrt{6}$时，则椭圆的离心率的取值范围是[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．

Answer 1

分析 设椭圆离心率为e，设F₂的坐标为（c，0），设l的方程为y=kx+m，则可求得l与y轴的交点，进而求得B点坐标，带椭圆方程求得e和k的关系式，进而根据k的范围得出关于e的不等式，求得e的范围．

解答 解：设椭圆离心率为e，设F₂的坐标为（c，0），其中c²=a²-b²，
设l的方程为y=kx+m，则l与y轴的交点为（0，m），m=-kc，
所以B点的坐标为（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），将B点坐标代入椭圆方程化简e²+$\frac{{k}^{2}}{\frac{1}{{e}^{2}}-1}$=4，
所以k²=（4-e²）•（$\frac{1}{{e}^{2}}$-1）≤24，即e⁴-29e²+4≤0，解之可得，$\frac{29-5\sqrt{31}}{2}$≤e²≤$\frac{29+5\sqrt{31}}{2}$，
又有椭圆的性质，所以$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$≤e＜1，
因此椭圆C的离心率取值范围为[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．
故答案为：[$\sqrt{\frac{29-5\sqrt{31}}{2}}$，1）．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化．