Question

20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0＜x＜3\\（x-3）（a-x），x≥3\end{array}\right.$．
（1）求f（2）+f（4）的值；
（2）若y=f（x）在x∈[3，5]上单调增，在x∈[6，8]上单调减，求实数a的取值范围；
（3）设函数y=f（x）在区间[3，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由分段函数，代入即可得到所求值；
（2）由二次函数的单调性，求得对称轴，讨论与区间的关系，即可得到所求范围；
（3）分别研究二次函数的对称轴和区间[3，5]的关系，由单调性即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0＜x＜3\\（x-3）（a-x），x≥3\end{array}\right.$．
可得f（2）+f（4）=2+a-4=a-2；
（2）当x≥3时，f（x）=（x-3）（a-x）
=-x²+（a+3）x-3a，对称轴为x=$\frac{a+3}{2}$，
由f（x）在x∈[3，5]上单调增，在x∈[6，8]上单调减，
可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解得7≤a≤9，
则a∈[7，9]；
（3）①当$\frac{a+3}{2}$≤3即a≤3时，f（x）在[3，5]上单调递减，所以g（a）=f（3）=0；
②当3＜$\frac{a+3}{2}$＜5即3＜a＜7时，f（x）在[3，$\frac{a+3}{2}$）递增，（$\frac{a+3}{2}$，5]上单调递减，
即有g（a）=f（$\frac{a+3}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$；
③当$\frac{a+3}{2}$≥5即a＞7时，f（x）在[3，5]上单调递增，
所以g（a）=f（5）=2（a-5）．
综上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}0，a≤3\\ \frac{{{{（a-3）}^2}}}{4}，3＜a＜7\\ 2（a-5），a≥7\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数的单调性的运用：求最值，综合考查了分段函数求值域的问题，特别对于二次函数求值域时要分类讨论的思想．