Question

11．设点P是双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

Answer 1

分析 根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=$\frac{1}{2}$．连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|，从而得出|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标．

解答 解：∵双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$中，a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴c=2，
可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=$\frac{1}{2}$，
设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，
由双曲线的第二定义，可得|PM|=$\frac{1}{2}$|PF|．
∴|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PM|，
运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．
此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，
设P（m，2），代入双曲线方程得m=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，得点P（$\frac{\sqrt{21}}{3}$，2）．
∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|）有最小值的点P坐标为$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．
故答案为：$（\frac{{\sqrt{21}}}{3}，2）$．

点评 本题给出定点A与双曲线上的动点P，求4|PA|+2|PF|有最小值时点P的坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．